建立微積分
在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就占有突出的地位。他數學生涯中的第壹項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積的級數時發現這壹定理的。 笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間範圍裏的速度的平均值，這就是壹個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這壹點的準確值。這就是微分的概念。 微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的壹些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統壹為兩類普通的算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的壹步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的壹個新紀元。 牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早壹些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。 在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了壹場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的壹段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在壹個時期裏閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落後了壹百年。 1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如:他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即“牛頓冪和公式”。 牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。
二項式定理
在壹六六五年，剛好二十二歲的牛頓發現了二項式定理，這對於微積分的充分發展是必不可少的壹步。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。 推廣形式
二項式級數展開式是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發覺這個方法只適用於n是正整數，當n是正整數1，2，3，....... ，級數終止在正好是n+1項。如果n不是正整數，級數就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在壹六九四年才引進函數這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。
創建微積分
牛頓在數學上最卓越的成就是創建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統壹為兩類普遍的算法－－微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。 那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發了壹場微積分發明專利權的爭論，直到萊氏去世才停息。後世認為牛頓提出微積分概念雖然更早，但萊布尼茲的方法更加完善。 微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大膽地運用了代數所提供的大大優越於幾何的方法論。他以代數方法取代了卡瓦列裏、格雷哥裏、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。從此，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。 微積分產生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎，被有些喜愛思考的人研究。更因此而引發了著名的第二次數學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解決。
方程論與變分法
牛頓在代數方面也作出了經典的貢獻，他的《廣義算術》大大推動了方程論。他發現實多項式的虛根必定成雙出現，求多項式根的上界的規則，他以多項式的系數表示多項式的根n次冪之和公式，給出實多項式虛根個數的限制的笛卡兒符號規則的壹個推廣。 牛頓在還設計了求數值方程的實根近似值的對數和超越方程都適用的壹種方法，該方法的修正，現稱為牛頓方法。 牛頓在力學領域也有偉大的發現，這是說明物體運動的科學。 牛頓
第—運動定律是伽利略發現的。這個定律闡明，如果物體處於靜止或作恒速直線運動，那麽只要沒有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續作勻速直線運動。這個定律也稱慣性定律，它描述了力的壹種性質：力可以使物體由靜止到運動和由運動到靜止，也可以使物體由壹種運動形式變化為另壹種形式。此被稱為牛頓第壹定律。力學中最重要的問題是物體在類似情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；該定律被看作是古典物理學中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運動產生變化。它說明速度的時間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質量裏成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；質量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個力作用在物體上，就由合力產生加速度，第二定律是最重要的，動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來。 此外，牛頓根據這兩個定律制定出第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體的相互作用總是大小相等而方向相反。對於兩個直接接觸的物體，這個定律比較易於理解。書本對子桌子向下的壓力等於桌子對書本的向上的托力，即作用力等於反作用力。引力也是如此，飛行中的飛機向上拉地球的力在數值上等於地球向下拉飛機的力。牛頓運動定律廣泛用於科學和動力學問題上。
牛頓運動定律
牛頓運動定律是艾薩克·牛頓提出了物理學的三個運動定律的總稱，被譽為是經典物理學的基礎。 為“牛頓第壹定律（慣性定律：壹切物體在不受任何外力的作用下，總保持勻速直線運動 狀態或靜止狀態，直到有外力迫使它改變這種狀態為止。——它明確了力和運動的關系及提出了慣性的概念）”、“牛頓第二定律（物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。）公式：F=kma（當m單位為kg，a單位為m/s2時，k=1）、牛頓第三定律（兩個物體之間的作用力和反作用力，在同壹條直線上，大小相等，方向相反。）”
光學貢獻
在牛頓以前，墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現象 。反射定律是人們很早就認識的光學定律之壹。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了“新宇宙”，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說…… 牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也像伽利略、笛卡爾等前輩壹樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。壹束太陽光通過三棱鏡後，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用壹塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓壹種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第壹大貢獻。 牛頓望遠鏡
牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，並且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜誌》上，這是他第壹次公開發表的論文。 許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由於發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(後來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和制造了反射望遠鏡。 牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手制造各種試驗設備並且作精細實驗。為了制造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他制成了第壹架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，並被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。 同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，“牛頓環”的光學現象等等。 牛頓還提出了光的“微粒說”，認為光是由微粒形成的，並且走的是最快速的直線運動路徑。他的“微粒說”與後來惠更斯的“波動說”構成了關於光的兩大基本理論。此外，他還制作了牛頓色盤等多種光學儀器。
構築力學大廈
牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。 在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什麽行星壹定按照壹定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律——力學規律的支配。 早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有壹種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵壹樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要壹種向心力。胡克等人認為是引力，並且試圖推到引力和距離的關系。 1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。 牛頓自己回憶，1666年前後，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的壹個說法是：在假期裏，牛頓常常在花園裏小坐片刻。有壹次，象以往屢次發生的那樣，壹個蘋果從樹上掉了下來…… 壹個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的壹個轉折點，它使那個坐在花園裏的人的頭腦開了竅，引起他的沈思：究竟是什麽原因使壹切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終於，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。 牛頓高明的地方就在於他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。 當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。 在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》壹書。皇家學會經費不足，出不了這本書，後來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之壹才能夠在1687年出版。 牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這壹銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統壹
開普勒 行星運動定律的創立者約翰尼斯·開普勒於公元1571年出生在德國的威爾德斯達特鎮，恰好是哥白尼發表《天球運行論》後的第二十八年。哥白尼在這部偉大著作中提出了行星繞太陽而不是繞地球運轉的學說。開普勒就讀於蒂賓根大學，1588年獲得學士學位，三年後獲得碩士學位。當時大多數科學家拒不接受哥白尼的日心說。在蒂賓根大學學習期間，他聽到對日心學說所做的合乎邏輯的闡述，很快就相信了這壹學說。”
在蒂賓根大學畢業後，開普勒在格拉茨研究院當了幾年教授。在此期間完成了他的第壹部天文學著作（1596年）。雖然開普勒在該書中提出的學說完全錯誤，但卻從中非常清楚地顯露出他的數學才能和富有創見性的思想，於是偉大的天文學家第谷·布拉赫邀請他去布拉格附近的天文臺給自己當助手。開普勒接受了這壹邀請，1600年1月加入了泰修的行列。第谷翌年去世。開普勒在這幾個月來給人留下了非常美好的印象，不久聖羅馬皇帝魯道夫就委任他為接替第谷的皇家數學家。開普勒在余生壹直就任此職。 作為第谷·布拉赫的接班人，開普勒認真地研究了第谷多年對行星進行仔細觀察所做的大量記錄。第谷是望遠鏡發明以前的最後壹位偉大的天文學家，也是世界上前所未有的最仔細、最準確的觀察家，因此他的記錄具有十分重大的價值。開普勒認為通過對第谷的記錄做仔細的數學分析可以確定哪個行星運動學說是正確的：哥白尼日心說，古老的托勒密地心說，或許是第谷本人提出的第三種學說。但是經過多年煞費苦心的數學計算，開普勒發現第谷的觀察與這種三學說都不符合，他的希望破滅了。 最終開普勒認識到了所存在的問題：他與第谷、拉格茨·哥白尼以及所有的經典天文學家壹樣，都假定行星軌道是由圓或復合圓組成的。但是實際上行星軌道不是圓形而是橢圓形。 1600年，開普勒出版了《夢》壹書，這是壹部純幻想作品，說的是人類與月亮人的交往。書中談到了許多不可思議的東西，像噴氣推進、零重力狀態、軌道慣性、宇宙服等等，人們至今不明白，近400年前的開普勒，他是根據什麽想象出這些高科技成果的。盡管開普勒的書是純幻想作品，但它壹定有壹些背景來源，比如像畢達哥拉斯的話或古希臘神話。 就在找到基本的解決辦法後，開普勒仍不得不花費數月的時間來進行復雜而冗長的計算，以證實他的學說與第谷的觀察相符合。他在1609年發表的偉大著作《新天文學》中提出了他的前兩個行星運動定律。行星運動第壹定律認為每個行星都在壹個橢圓形的軌道上繞太陽運轉，而太陽位於這個橢圓軌道的壹個焦點上。行星運動第二定律認為行星運行離太陽越近則運行就越快，行星的速度以這樣的方式變化：行星與太陽之間的連線在等時間內掃過的面積相等。十年後開普勒發表了他的行星運動第三定律：行星距離太陽越遠，它的運轉周期越長；運轉周期的平方與到太陽之間距離的立方成正比。 開普勒定律對行星繞太陽運動做了壹個基本完整、正確的描述，解決了天文學的壹個基本問題。這個問題的答案曾使甚至象哥白尼、伽利略這樣的天才都感到迷惑不解。當時開普勒沒能說明按其規律在軌道上運行的原因，到17世紀後期才由艾薩克·牛頓闡明清楚。開普勒對此運動性質的研究，我們可以看到萬有引力定律已見雛形。開普勒在萬有引力的證明中已經證到：如果行星的軌跡是圓形，則符合萬有引力定律。而如果軌道是橢圓形，開普勒並未證明出來。牛頓後來用很復雜的微積分和幾何方法證出。 牛頓曾說過：“如果說我比別人看得遠些的話，是因為我站在巨人的肩膀上。”開普勒無疑是他所指的巨人之壹。 開普勒對天文學的貢獻幾乎可以和哥白尼相媲美。事實上從某些方面來看，開普勒的成就甚至給人留下了更深刻的印象。他更富於創新精神。他所面臨的數學困難相當巨大。數學在當時遠不如今天這樣發達，沒有計算機來減輕開普勒的計算負擔。 從開普勒取得的成果的重要性來看，令人感到驚奇的是他的成果起初差壹點被忽略，甚至差點被伽利略這樣如此偉大的科學家所忽略（伽利略對開普勒定律的忽視特別令人感到驚奇，因為他倆之間有書信往來，而且開普勒的成果會有助於伽利略駁斥托勒密學說）。如果說其他人遲遲不能賞識開普勒成果的重大意義的話，他本人是會諒解這壹點的。他在壹次抑制不住巨大喜悅時寫道：“我沈湎在神聖的狂喜之中……我的書已經完稿。它不是會被我的同時代人讀到就會被我的子孫後代讀到──這是無所謂的事。它也許需要足足等上壹百年才會有壹個讀者，正如上帝等了6000年才有壹個人理解他的作品。” 但是經過幾十年的歷程，開普勒定律的意義在科學界逐漸明朗起來。實際上在17世紀晚期，有壹個支持牛頓學說的主要論點認為開普勒定律可以從牛頓學說中推導出來，反過來說只要有牛頓運動定律，也能從開普勒定律中精確地推導出牛頓引力定律。但是這需要更先進的數學技術，而在開普勒時代則沒有這樣的技術、就是在技術落後的情況下，開普勒也能以其敏銳的洞察力判斷出行星運動受來自太陽的引力的控制。 開普勒除了發明行星運動定律外，還對天文學做出了許多小的貢獻。他也對光學做出了重要的貢獻。不幸的是他在晚年為私事而感到憂傷。當時德國開始陷入“三十年戰爭”的大混亂之中，很少有人能躲進世外桃源。 他遇到的壹個問題是領取薪水。神聖羅馬皇帝即使在較興隆的時期都是怏怏不樂地支付薪水。在戰亂時期，開普勒的薪水被壹拖再拖，得不到及時的支付。開普勒結過兩次婚，有十二個孩子，這樣的經濟困難的確很嚴重。另壹個問題是他的母親在1620年由於行巫術而被捕。開普勒花費了大量的時間設法使母親在不受拷打的情況下獲得釋放，他終於達到了目的。 開普勒於1630年在巴伐利亞州雷根斯堡市去世。在“三十年戰爭”的動亂中，他的墳墓很快遭毀。但是業已證明他的行星運動定律是壹座比任何石碑都更為久佇長存的紀念碑。
不幸的壹生
1571年12月27日，開普勒出生在德國威爾的壹個貧民家庭。他的祖父曾是當地頗有名望的貴族。但當開普勒出生時，家道已經衰落，全家人就靠經營壹家小酒店生活。開普勒是壹個早產兒，體質很差。他在童年時代遭遇了很大的不幸，四歲時患上了天花和猩紅熱，雖僥幸死裏逃生，身體卻受到了嚴重的摧殘，視力衰弱，壹只手半殘。但開普勒身上有壹種頑強的進取精神。12歲時入修道院學習。他放學後要幫助父母料理酒店，但壹直堅持努力學習，成績壹直名列前茅。 1587年，開普勒進入蒂賓根大學。這時候，新的不幸又降臨到他身上了，父親病故，母親被指控有巫術罪而入獄。生活不幸並未使他中止學業，他反而加倍努力學習。在大學學習期間，他受到天文學教授麥斯特林的影響，成為哥白尼學說的擁護者，同時對神學的信仰發生了動搖。開普勒經常在大學裏和同學辯論，旗幟鮮明的支持哥白尼的立場。大學畢業後，開普勒獲得了天文學碩士的學位，被聘請到格拉茨新教神學院擔任教師。後來，由於學校被天主教會控制，開普勒離開神學院前往布拉格，與卓越的天文觀察家第谷壹起專心地從事天文觀測工作。正是第谷發現了開普勒的才能。在弟谷的幫助和指導下，開普勒的學業有了巨大的進步。雖然，開普勒視力不佳，但還是作了不少觀測工作，1604年九月30日在蛇夫座附近出現壹顆新星，最亮時比木星還亮。開普勒對這顆新星進行了17個月的觀測並發表了觀測結果。歷史上稱它為開普勒新星(這是壹顆銀河系內的超新星)1607年，他觀測了壹顆大彗星，就是後來的哈雷彗星。第谷死後，開普勒接替了他的職位，被聘為皇帝的數學家。然而皇帝對他十分吝嗇，給他的薪俸僅僅是第谷的壹半，還時常拖欠不給。他的這壹點點收入不足以養活年邁的母親和妻兒，因此生活非常困苦。但開普勒卻從未中斷過自己的科學研究，並且在這種艱苦的環境下取得了天文學上的累累成果。