本文討論了影響房地產價格的主要因素，找出了價格與其主要因素之間的近似線性關系，建立了表示房地產價格的數學模型——多元線性回歸模型，並對模型進行了全方位的討論，得出了求解各參數的方法，最終得出了房地產價格。在建模過程中，首先通過科學分析確定主要因素並進行數學抽象，然後綜合運用各種數學方法對各因素進行分析求解。先用概率論和數理統計的方法，找出價格與各種因素的近似線性關系，確定模型；其次，用最小二乘法求解模型中的參數；再次，利用回歸分析確定模型精度並進行檢驗，從而獲得完整的數學模型；第四，通過該模型深入分析了影響房地產價格的主要因素，並提出了降低高開發成本、調整供應結構的政策建議。第五，根據模型和建議進行合理預測，最後分析模型的優缺點並提出改進方向。
問題的重述
所謂房地產泡沫，就是商品房價格遠遠超過實際價值。近年來，中國主要城市的房價普遍持續上漲，並居高不下。不斷上漲的房價大大增加了生活成本，這使得許多低收入人群很難買房。目前，中國城市居民人均居住面積只有發達國家的壹半左右，甚至低於許多發展中國家。不是居民沒有住房需求，而是現有的貨幣支付能力無法讓他們實現買房的願望。雖然現在可以貸款分期買房，但也要求居民有相當不錯的收入水平，要等到中年甚至更晚才能還清房子，人生中最美好的時光都要給房子。因此，如何有效抑制房價上漲，甚至降低房價，是壹個備受關註的社會問題。我們就這個問題進行分析，建立數學模型，研究如何有效抑制房價上漲。
2.基本假設
影響房價的因素有很多，比如房屋建設成本、市場供求、城市經濟發展、城市規模等等。假設房價與各種因素之間的關系是線性的，並且:
(1)房屋建造成本替換為完工房屋成本。
(2)城市經濟發展用人均GDP表示。
(3)城市的規模是用建成區來表示的。
(4)市場的供求關系是通過消費者的支付能力來體現的，消費者的支付能力是通過在崗職工的平均工資來衡量的。
(5)房地產價格用住房均衡價格表示。
(6)忽略消費者偏好對房價的影響，如是否有學校、綠化率、停車位、熱水供應狀況、通訊、房屋建築形式等。
(7)忽略消費成本對房價的影響，如交通成本、物業費、停車費等。
(8)忽略壹些炒作對房價的影響。
基本符號、變量和術語
a:代表人均國內生產總值系列(元)
b:代表在崗職工平均工資系列(元)
c:表示竣工房屋的成本順序(元/㎡)
d:城鄉人均儲蓄余額系列/元
y:住房均衡價格指數序列，均衡價格是指消費者對壹種商品的需求與生產者提供的該商品的供給相等時的市場價格。均衡價格由需求和供給共同決定。與吸金率和交易價格有關。[1]
:是隨機變量；
Uy，UA，UB，UCUD分別是Y，A，B，C，D序列的平均序列。
δY、δA、δB、δC、δD分別代表Y-uy、A-UA、B-UB、C-UC、D-UD序列，即集中式序列。
:序列的方差
、、:模型參數
S(a):是殘差平方和。
n:統計城市數(樣本數)
r:集中序列的協方差
第四，建立模型，分析。
壹、模型推導過程
表1是全國12主要城市住房均衡價格及其相關因素統計表。根據這個表，我們可以得到各因素與住房均衡價格的相關系數，進而判斷各因素對住房價格的影響程度，如表2所示。
表1 12主要城市住房均衡價格及其相關因素統計表[1]
城市住房平衡價格指數
人均國內生產總值/元/平方米
/元建成區
Km2非農業人口變動率在崗職工平均工資
人均居住面積每元
/米城鄉人均儲蓄余額/元竣工住房成本
/元/㎡
1北京3494.97 19846 488 0.072 654438+04054 13.97+04536
2天津1636.2 15976 378 0.041 1123 8.6 12417.38 1。
3石家莊1424.85 10425 108 0.147 7983 3.16 8105.87 767。
4太原859.21 10678 177 0.076 7378 12.23 13147.438+07760。
5呼和浩特872.57 7489 79 0.16 7346 6.22+0.47866
6沈陽1655.62 14989 202 0.028 85110.03 13317.48 978。
7大連1935.43 18429 234 0.079 10259 8.45 13857.8 978
8長春1222.49 10261540.073 8618 6.5 6949.56 1087。
9哈爾濱1502.94 9142 165 0.345 7577 6.96 6957.27 897
10上海3119.62 30805 5550 0.052 166465 438+06 5438+04.96 19 778 . 5566766
11南京1934.31 16 194 0.108 11931 8.59 65438。
杭州2312+01.061961.1.71.147121876.5438+0202056
同時可以得到各因子序列的平均值，如表1所示。
附表1中各因素序列的平均值
住房均衡價格指數
人均國內生產總值/元/平方米
/元建成區
Km2非農業人口變動率在崗職工平均工資
人均居住面積每元
/米城鄉人均儲蓄余額/元竣工住房成本
/元/㎡
平均值為1830.8 15401.67 0.11 10300 8.85 12110。
表2各因素與住房均衡價格的相關系數表
人均國內生產總值、建成區面積、非農人口變動率、在崗職工平均工資、人均居住面積、城鄉人均儲蓄余額
竣工房屋成本
相關系數r 0.848 0.824-0.236 0.910 0.766 0.836 0.894
從表2可以看出，住房均衡價格與非農人口、人均住宅面積、建成區面積變化率的相關系數較小，所以這裏我們忽略它們的影響，只考慮其他主要因素的影響，主要包括:人均GDP、在崗職工平均工資、竣工住房成本、城鎮人均儲蓄余額等等。
通過表1，我們依次做出主要因素與住房均衡價格的關系圖:
圖1
圖2
圖3
圖4
從均衡房價與人均GDP、均衡房價與人均工資、均衡房價與竣工成本、均衡房價與居民平均儲蓄的圖表中可以看出，均衡房價與人均GDP、人均工資、竣工成本、居民平均儲蓄之間存在依賴關系，因此很容易想到使用多元線性回歸模型。
Y= A+ B+ C+ D+……。+
代表因變量Y對自變量A，B，C，D的依賴性...，在哪裏，，，...是參數。
模型特征如下:
1，a，b，c，d...是壹般變量和隨機變量；
2.Y是壹般變量和隨機變量的線性組合，Y序列的值不僅取決於A、B、C序列，還取決於。
如表3所示，每個序列
壹般假設是白噪聲序列，假設服從均值為0，方差為0的正態分布。
表3
序列號城市Y A B D C
1北京3494.97 19846 14054 21447.03 2037
2天津1636.2 15976 1123 12417.38 1061。
3石家莊1424.85 10425 7983 8105.87 767
4太原859.21 10678 7378 13147.17 760
5呼和浩特872.57 7489 7346 6721.47 866
6沈陽1655.62 14989 8511 13317.48 978
7大連1935.43 18429 10259 13857.8 978
8長春1222.49 10261 8618 6949.56 1087。
9哈爾濱1502.94 9142 7577 957.27 897
10上海3119.62 30805 16641 19778.24 2232
11南京1934.31 11931 10569.5 910。
12杭州2311.061.9961.12187 12054.1617。
集中之後，妳會得到
y-Uy = *(A-Ua)+*(B-Ub)+*(C-Uc)+*(D-Ud)+
上面的公式是
δY = *δA+*δb+ *δC+*δD+
現在模型的參數是用最小二乘法估計的。
δ y、δ a、δ b、δ c和δ d的值如表4所示。
表4
序列號城市δ y δ a δ b δ d δ c
1北京1664.538+097 444366
2天津-194.573 574.58 55665665666
3石家莊-405.923-4976.42-2317.67-4004.37-382.67
4太原-971.563-4723.42-2922.67 1036.93-389.67
5呼和浩特-958.203-7912.42-2954.67-5388.77-283.67
6沈陽-175.153-412.42-1789.67 1207.24-171.67
7大連104.657 3027.58-41.67 1747.56-171.67
8長春-608.283-5140.42-1682.67-5160.68-62.67
9哈爾濱-327.833-6259.42-2723.67-55438+052.97-252.67
10上海1288.847 15403.58 6340.3668 1082.33
11南京103.537 1414.58 1630.33-1540.74-239.67
12杭州480.287 4559.58 1886.33-56.08 67.33
設a=(，，，)，則A的最小二乘估計應使殘差平方和最小，其中
S (a) = = (δ y t-* δ at-* δ b t-* δ c-* δ dt)，取S(a) =0得到:
s(a)= 2 *(δy t-*δat-*δb t-*δCT-*δd)*(-δat)= 0-公式6544。
Rya表示序列δY和δA的協方差，Raa表示序列δA的方差，Rba表示序列δB和δA的協方差，Rca表示序列δC和δA的協方差:等式1可以寫成:
-Rya+* Raa+* RBA+* RCA+* RDA = 0 -公式2。
類似地，s (a) = o推導出:
-ryb+* rab+* rbb+* rcb+* RDB = 0 -公式3。
S (a) = 0推導出:
-ryc+* RAC+* RBC+* RCC+* RDC = 0 -公式4。
S (a) = 0推導出:
-ryd+* rad+* rbd+* rcd+* rdd = 0 -公式5。
將公式2、公式3、公式4和公式5寫成矩陣乘法:
* =
計算參數的公式為:
= *-公式6
具體到這個問題，我們用往年的統計數據來求解模型中的各個參數。
每個協方差的計算值為:(使用matlab軟件)
Raa=38730662
Rba=Rab=18250255
Rca=Rac=2543343
Rda =拉德=25327000
Rbb=8106483
Rcb=Rbc=1257098
Rdb=Rbd=11269000
RCC = 211174.1
Rdc=Rcd=1882000
Rdd=22936000
Rya=4475718
Ryb=2197259
Ryc=343656.3
Ryd=3251000
通過矩陣運算，的值為:(使用matlab軟件)
,=0.0583
=-0.0487
=1.1621
=0.0059
將系數、、代入原始模型:
y-1830.77 = 0.0583 *(A-15401.4)-0.0487 *(B-10300)+1.1621 *(C-1149)+0.0059 *(D-666
利用表3中的均衡房價、人均GDP、在崗職工平均工資、竣工房屋成本和城鄉人均儲蓄余額，取值反過來，即:
= Y-1830.77-〔0.0583 *(A-15401.4)-0.0487 *(B-10300)+1.1621 *(C-1149)+0.0059
獲得的12值為:
表5剩余數據
城市序列號剩余
1 501.5639
2 -86.8221
3 239.8316
4 -391.561
5 -279.054
6 -45.8512
7 115.1803
8 -287.093
9 228.7031
10 -604.037
11 387.9655
12 228.1861
平均值為0.584425
圖5
因為的平均值為0.584，相對於y值非常小，可以近似視為0，所以忽略不計。
因此，該模型進壹步簡化為:
y-1830.77 = 0.0583 *(A-15401.4)-0.0487 *(B-10300)+1.1621 *(C-1149)+0.0059 *(D-666
也就是
y = 0.0583 *(A-15401.4)-0.0487 *(B-10300)+1.1621 *(C-1149)+0.0059 *(D-121438
也就是六個模型的優化
雖然我們利用統計規律建立了壹個多元線性回歸模型來表示房地產價格，但計算結果總體上與實際相符。但是這種模式還是存在很多問題。
首先，影響房地產價格的因素很多，我們在構建模型時忽略了很多被認為不重的因素。
除了上述模型中考慮的影響房價的因素外，還有壹系列其他因素:
(1)壹套房子的結構、質量、功能、新舊程度是影響房價的重要因素。由於使用的建築材料不同，施工機構不同，施工方法不同，施工技術力量不同，形成價格差異。
(2)建築物的數量、層次和朝向。房屋分為高層、多層和低層。由於設備、施工工藝、施工機械化的不同，各種樓層、朝向的房子都有壹定的價格差異。
(3)環境因素。房子的位置是在市區還是郊區，交通便利的繁華地段還是背街小巷，交通、文化教育、社區服務設施對房價的影響很大。
(4)國家政策。房價受政策因素影響很大，在某些情況下，政策因素往往成為房價的決定因素。比如計劃經濟時期，我國實行的是房屋不作為商品使用的福利分房政策，價格遠遠低於價值，嚴重影響了房屋的再生產。
(5)也有壹部分人是投機性的，想利用房價上漲獲利，多買房子，通過房屋增殖獲利。
以上因素對房價有壹定影響，但由於時間倉促，容量有限，很多因素我們無法壹壹考慮，只考慮影響較大的因素。所以我們采用“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的方法，所以模型還是具有普適性和代表性的，代表了壹個基本的思想和算法。在此基礎上，考慮其他因素時，該方法仍然適用。
其次，我們用來確定模型參數的樣本序列只有12組數據，這可以說是應用統計規律的壹大戒，因為統計規律本來只適用於壹些大樣本甚至無限序列，如果應用在小樣本的情況下，結果誤差會很大，甚至有時會出錯。但是我們在這裏還是用這麽小的樣本來計算，其實只是為了說明壹種計算方法，而且我們在提出模型的時候，確實參考了很多數據來確定它們之間的因素是線性的。為了節省時間和說明計算中的問題，我們只選取了幾組數據。
此外，模型中部分因素存在* * *線性問題，需要進壹步完善。
針對模型中存在的問題，我們提出以下改進建議。
(1)，我覺得如果用更多城市的統計數據(樣本)進行模型運算，準確率肯定會更高。
(2)綜合考慮城市的方方面面，如建成區面積、流動人口、交通環境等因素。
(3)考慮到線性問題，我們盡量利用獨立因子或其他壹些更經典的模型。