為什麽需要學習數學？這是妳需要想清楚的第壹個問題。數學分門別類很多，每壹本數學書裏都有很多定理和結論，需要大量的時間去學習。而人的時間是寶貴而有限的，所以妳需要有壹個目標和大體的規劃，合理安排自己的時間。
1.1妳的目標是掌握數學，鉆研數學，靠數學謀生。妳可能渴望掌握代數幾何，或者想掌握前沿物理學。然後妳需要打下紮實的近世代數、幾何、分析基礎。妳需要準備大量的時間和精力，要有堅定的決心。(要求:精通高等數學全部三個級別)
1.2妳的目標是熟練運用高等數學，解決問題，掌握武器，探索新的應用領域。妳可能渴望進入計算機視覺、經濟學或數據挖掘領域。然後，妳需要打好矩陣理論、微積分、概率統計的基礎。(要求:精通壹級高等數學)
1.3妳的目標是理解數學的樂趣，把學習數學作為人生的愛好。然後，妳需要打下紮實的線性代數、數學分析、拓撲學和概率統計基礎。對於妳來說，體驗學習數學的樂趣才是更重要的目標。精通壹級高數，遊二級高數，嘗試接觸三級高數)
第二，給自己足夠的動力
學習數學需要智力，也需要時間和精力。以下事實是眾所周知的:
1.學得快，忘得也快凡是沒用的或者有用但用不上的東西。不信妳回憶壹下妳大壹或者大三的基礎課。妳還清楚地記得他們嗎？
2.妳很難堅持完成自己不感興趣(或者覺得不感興趣)的事情。很多人都有這樣的經歷，壹本書，前三章認真讀完，然後日期囫圇吞棗，越讀越快。反正既沒意思也沒用。
3.小學數學是中學數學的基礎，中學數學是高中數學的基礎，高中數學是大學數學的基礎(可以這樣類比)。
所以，不管妳的目標是什麽，搞數學，用數學，還是體驗數學的樂趣，滿足妳從小的夢想。學會快樂和學會有用永遠是讓妳的動力不下降的兩個最重要的因素。
三、高等數學學什麽？
好了，我們來看看標準大學數學的科技樹:
壹級:
線性代數(矩陣論)、數學分析和近世代數(群環域)分別包括幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了概率論(以分析為基礎的基礎學科)。
第二級:
有了這些基礎，下面就是基礎、抽象和概括:測度論(積分的基礎，當然還有概率論的基礎)、拓撲學(與集合、空間、幾何相關的極其重要的基礎學科)、泛函分析(線性代數的推廣)、復變函數(分析的推廣)、常微分方程和偏微分方程(分析的推廣)、數理統計和隨機過程。
然後就是壹些小清新和應用學科:數值分析(算法)、密碼學、圖形學、信息論、時間序列、圖論等等。
第三級:
再往上是研究生項目，往往會涉及到代數、幾何、分析壹起:微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。
這個科技樹的第三級和小學、初中、高中數學很像。壹層是不精通學問，下壹層是讀天書。
第四，如何學習
4.1適量提問
永遠，永遠不要做任何瘋狂的事。玩過戰略對抗遊戲的同學都知道，初級兵造幾個就夠了，只有省錢，後期才能贏。初級戰士不僅攻擊力低，而且沒有好玩的魔法。他們存在的意義就是讓妳有能力忍耐到後期。上面列了那麽多課程。妳用五年的時間做完六套吉米諾維奇的數學分析習題，妳就30歲了，二級課程還沒開始學。所以，課後做壹些練習就好了，幫助妳復習，思考，保持大腦運轉，保持逆向學習。如果妳完全不懂，回來做練習，幫妳理清思路。
4.2理解想法
數學的本質不是問題的數量，而是思想的掌握。數學的每壹個分支都有自己的主要思想和方法論，不同的分支也有自己的思維方式可供比較和借鑒。關註它，模仿它，瑣碎的知識就會串成壹條項鏈，妳就掌握了壹課。思想不是看課本就能輕易理解的。妳得讀幾本書才能理解壹些應用。舉兩個例子:
微積分有幾條主線:認識到微觀和宏觀是相關的，微分用來描述事物如何變化，它把細節放大給妳看，積分用來描述事物的整體性質；微分和積分有時是描述壹種現象的不同方式，在數學分析書上妳可能不容易發現，但如果妳學物理，妳會發現麥克斯韋方程組同時具有等價的微分和積分形式；積分變換可以建立不同空間之間的聯系，空間與空間邊界之間的聯系，這就是斯托克斯定理:這個公式最遲只能在微分流形中看到。
矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數的全部意義就是研究空間線性變換算子如何表示、簡化和分類。SVD分解不僅廣泛應用於應用學科，也是妳理解矩陣的有力工具。矩陣是有限維空間中的線性算子。了解“空間”不僅可以幫助妳重新理解矩陣，還可以為泛函分析的學習開壹個好頭。
4.3漸進式迂回學習，比較學習
很多時候只讀壹本書，可能是因為作者的思維在某個地方跳躍了，以後妳就跟不上了。學習數學的壹個竅門是，妳同時拿到幾本國際知名的教材，相互比較，或者讀完壹本後再讀另壹本同壹主題的書，可以跳過熟悉的內容。不理解就停止思考或者做練習，或者不理解就退後壹步，從自己能理解的部分往前走。當妳讀得多了，妳會發現某個東西出現在很多地方，妳對它的理解也會加深。舉兩個例子:
國內壹些數學分析書籍中可能沒有介紹外微分。我第壹次見到它是在彭的《微分幾何》中，認為它是壹個方便而巧妙的工具。後來看了Zoroach的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》，都講了這個東西。可見，分化是西方之外的基礎知識。想要理解，可能要先理解矩陣，明白行列式只是矩陣變換下空間體積展開的倍數，是線性形式。最後，當妳讀微分流形的時候，妳會發現外微分是壹個在流形上獲得斯托克斯定理的工具。
應用不需要點集拓撲。但要想深入學習，這門學科是必須掌握的，因為它提供了開集、緊集、連續性、完備性等基本數學概念的準確描述。學完泛函分析和微分流形，沒有這些概念妳將寸步難行。首先，妳應該讀壹讀Munchris的代表作拓撲學。那麽，在閱讀其他外國人寫的書時，妳或多或少會接觸到壹些相關的概念，妳的理解也會加深。比如讀魯丁的泛函分析，壹開始就會介紹線性拓撲空間，可以用之前的知識。
4.4建立不同學科之間的聯系
當妳看到壹個東西用在很多地方，妳對它的理解就會加深，妳就會逐漸體會到這個東西的精妙。最後妳會發現，所有的基礎學科在後續的應用中是相互交織，相互幫助的，真正意識到自己是真的基礎，真的有用。這是體驗數學樂趣的壹種方式。
4.5重視應用學科
沒有什麽比應用更能激發妳對新知識和新工具的渴望。找壹些有趣的應用學科教材，讀壹讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。下面就根據自己的專業(計算機視覺)和愛好來說壹些優秀的專業書籍:
學完微積分後，可以無壓力地閱讀《費恩曼物理學講義》第壹卷，了解力、熱、光、時空的奧秘。學完偏微分方程後，妳可以毫無壓力地閱讀費恩曼的《物理學講義》第二卷，了解電的奧秘。學完矩陣理論，可以買壹本計算機視覺中的多視圖幾何，了解成像的奧秘，編程實現圖像序列的三維重建。學過概率論的同學應該聽說過貝葉斯學派和頻率學派。這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域，成就了《模式識別與機器學習》和《統計學習的要素》兩部經典著作。看完之後，我對基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解印象深刻。從頭看完光線追蹤，我寫了壹個光線追蹤器來渲染真實場景，是基於壹點微積分和矩陣。......
高等數學的應用太多了。如果妳喜歡編程、自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數據挖掘、圖形圖像、信息論和密碼學...到處都有很多模型讓妳玩，只需要壹點高等數學。在這些領域，妳可能會發現找工作目標比數學書更有趣、更容易。
4.6找壹些有趣的書來讀
數學家寫的書有時候很死板，但總有壹些教科書。它們的作者有強烈的欲望要向妳展示“這個東西其實很有趣”“這個東西不是妳想的那樣”等等。他們成功了；還有壹些作者喜歡給妳看壹個東西在不同領域的應用，不同的東西在某個領域的應用。這樣的書會給妳提供足夠的樂趣去讀下去。典型代表是國內出版的壹套圖靈數理統計叢書。這套書真的很棒，比如線性代數應該學習的方式，復分析:可視化方法，微分方程導論，動力系統與混沌。個人認為都是學習數學必讀的經典教材，非常非常有趣。
第五，多讀書，讀好書。
如果只有壹句話概括如何培養數學能力，那就是這句話:多讀書，讀好書。所以，我想單獨在這壹步多說幾句。
想必大家對小學數學都非常精通，能夠熟練應用。如果妳想了解代數幾何，或者退壹步講，想了解信息論的基礎，那就選幾本好的基礎教材，最好是外國人寫的，像掌握小學數學壹樣掌握。不要只看壹本書，找三本不同作者的書，比較壹下，壹行壹行讀。有些地方我看不懂。寫下來。可能我在另壹本書的某個地方從另壹個角度提到了這個東西。
如果以後想學，現在看到的每壹個基本定理以後都會用到。
每壹本基礎書，妳今天放棄，明天再來。
就像讀經壹樣，交叉閱讀，比較不同教材的異同。
5.1.推薦教材(其實是我看過覺得不錯的書):
第壹級:
線性代數就應該這麽學。
Zoroach的數學分析(兩卷)(看英文版，不難。有朋友說這個還是不容易，可以先看壹本國產教材，再回頭看這個)
復旦大學概率論
第二個層次:
芒奇裏斯拓撲
圖靈級數的幾卷
科斯特爾金的代數入門
統計學習理論的本質
魯丁的數學分析原理
魯丁的功能分析
甘末林復分析
彭的微分幾何
涵蓋信息論的基礎
第三個層次:
微分普及性和黎曼幾何
現代幾何，方法和應用，三卷
5.2.看壹些科普教材。
什麽是數學
從高角度看初等數學
巴赫、埃舍爾和哥德爾。
e的故事
5.3.閱讀各領域最有趣、最生動、信息量最大的教材和書籍，最註重應用，最通俗易懂的寫作風格。
三卷本費恩曼物理學講義。
混沌和分形:科學的新前沿
微分方程、動力系統和混沌導論
復雜分析:可視化方法
最後我想說，數學是個無底洞，會消耗妳寶貴的青春。什麽都不懂，可能會啟發妳去理解現代數學，但往往會半途而廢，同時在剩下的時間裏對另壹門科學也不精通。而且就算妳精通純數學，沒有幾篇好文章也不好找工作。
我的建議是在讀數學的過程中開闊眼界，純數學和應用數學都要看，找壹個有趣的、應用廣泛的、好找工作的方向(來掙錢)然後壹頭紮進去，成為自己的事業。比如數學紮實，編程能力強的人就很有前途。
作者:王小龍
鏈接:/question/19556658/answer/26950430
來源:知乎。
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